Fils d'un ouvrier et d'une femme au foyer, il effectue sa scolarité obligatoire dans le village de son enfance. Il obtient sa maturité fédérale en 1970 à Lucerne. Puis il entre à la faculté de théologie de l'Université de Lucerne, avec un séjour de deux ans à Munich. Il obtient sa licence en théologie en 1975.
Il effectue son stage pastoral d'une année dans la paroisse de Sursee. Il travaille à la commission Justice et Paix de la CES sur les questions de bio-éthiques de la société d'aujourd'hui. Dès 1979, il est professeur-assistant en théologie systémique à Lucerne.
Ordonné prêtre le 20 juin 1982 par Mgr Otto Wüst, évêque de Bâle, il est nommé vicaire dans la paroisse de Sainte-Marie à Berne jusqu'en 1985.
Il est titulaire d'un doctorat en théologie, soutenu en 1987, avec le thèse Le Dieu de l'histoire. La théologie de l'histoire dans Wolfhart Pannenberg comme un paradigme de la théologie philosophique dans une perspective œcuménique. Il est aussi professeur invité à l'université de Fribourg pendant un semestre. De 1982 à 1989,il est professeur de théologie dogmatique et de morale à l'Institut catéchétique de Lucerne. Depuis 1989, il devint professeur de théologie dogmatique et de liturgie à la faculté de Lucerne jusqu'à sa nomination épiscopale.
Le 21 août 1995, il est élu évêque de Bâle et sa nomination est confirmée le 6 décembre suivant par le pape Jean-Paul II. Il est ordonné évêque le 6 janvier 1996 par ce pape lui-même, avec Giovanni Battista Re, et Jorge María Mejía alors secrétaire de la congrégation pour les évêques comme co-consécrateurs.
Le 1er juillet 2010, le pape Benoît XVI l'élève à la dignité d'archevêque et le nomme président du conseil pontifical pour la promotion de l'unité des chrétiens, où il succède au cardinal Kasper, atteint par la limite d'âge
Il est créé cardinal par Benoît XVI lors du consistoire du 20 novembre 2010. Il reçoit alors le titre de cardinal-diacre de Nostra Signora del Sacro Cuore.
En septembre 2006, il fait preuve d'ouverture concernant la question de la construction de minaret en Suisse. Il rejette l'initiative anti-minaret en préparation, tout en réclamant davantage de liberté religieuse pour les chrétiens en terre d'islam[
Puis à nouveau en septembre 2009, Mgr Koch, en tant que président de la CES, dénonce l'initiative anti-minarets et demande son rejet.
En novembre 2010, quelques semaines après sa nomination à la tête de Conseil pontifical pour la promotion de l'unité des chrétiens et à la veille de recevoir le chapeau de cardinal, Kurt Koch a donné son analyse de la situation dans le domaine dont il a la charge. Il reproche aux Protestants d'avoir abandonné l'objectif originel du mouvement œcuménique, c'est-à-dire la recherche d'une unité visible permettant une véritable communion. Selon le prélat, les courants issus de la Réforme, mais aussi certains Catholiques, cherchent à promouvoir une vision ecclésiologique marquée par le relativisme, et se bornant à la recherche de liens d'intercommunion entre églises séparées. Il réaffirme également la conviction catholique que l'Église de Jésus-Christ est déjà une réalité existante, qu'elle "subsiste" dans l'Église catholique[
En 2004, il défend le pape Jean-Paul II devant un groupe d'intellectuels suisses qui réclamaient sa démission
Le 27 juin 2007, il assiste à une rencontre avec le cardinal Tarcisio Bertone au sujet du motu proprio Summorum Pontificum. Il défend plus tard une déclaration de la congrégation pour la doctrine de la foi au sujet de l'expression subsistit in[réf. nécessaire].
Élu président de la conférence des évêques suisses et de plein droit membre du conseil suisse des religions, il doit s'opposer à une décision d'un tribunal suisse qui prenait position au sujet d'une de ses décisions épiscopales.